﻿%这是地基规范的说明

\setcounter{chapter}{4}
\chapter{地基计算}
\section{基础埋置深度}
略。

\section{承载力计算}
\subsection{换填垫层法}
\btitle{换填垫层法的计算说明}
这个参见《建筑地基基础处理技术规范》中“换填垫层法”，“设计”这一节。
换填垫层应满足下式要求
\[ p_z + p_{cz} \leq f_{az} \]
对于条形基础，$p_z$~可以按下式计算
\[ p_z = \frac{b(p_k - p_c)}{b + 2z\tan\theta} \]
各个符号的含义见规范所说。下面对该公式说明一下，图示见下
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic/p10.jpg}
\end{center}
先计算垫层底面的压强，它由上部荷载、填土自重、垫层自重三部分产生。
\begin{eqnarray*}
& & \frac{p_kb + p_c(b' - b)}{b'} + z\gamma_2 \\
&=& \frac{b(p_k - p_c) + p_cb'}{b'} + z\gamma_2 \\
&=& \frac{b(p_k - p_c)}{b'} + (p_c + z\gamma_2)\\
&=& p_z + p_{cz}
\end{eqnarray*}
这个计算说明了规范上公式的来历，计算是很简单的。\newpar

\ctitle{垫层最小宽度}
这个也是很简单的，规范上的公式变形一下就是
\[ \frac{b' - b}{2} \geq z\tan\theta \]
满足压力扩散角之后，垫层底面宽度才能够有效利用，否则是偏于不安全的。压力扩散角
的差值公式，对应于中粗砂那一列的计算公式是
\[ \theta = 40(z/b) + 10 \]
对应于粉质粘土那一列的计算公式是
\[ \theta = 68(z/b) - 11 \]
就这么多吧。\midpar

\ctitle{垫层的压实系数}
参见《建筑地基基础设计规范》第6.3.7条。不过里面的“填土部位”有两种，不
太好理解。

\subsection{软弱下卧层的地基承载力验算}
\btitle{计算示意图}
如下图所示。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic/p19.jpg}
\end{center}
计算示意图如上图所示。软弱下卧层的地基承载力验算公式是
\[ p_z + p_{cz} \leq f_{az} \]
其中
\[ p_{cz} = \gamma_m(d + z) \]
\[ p_{c} = \gamma_m d \]
\[ p_k = \frac{F_k + G_k}{bl} \]
\[ f_{az} = f_{ak} + \eta_b\gamma(b - 3) + \eta_d\gamma_m(d + z - 0.5) \]
其中的~$f_{ak}$~是软弱下卧层的地基承载力特征值。如果每层土的重度不一样，
可以分开计算。也可以使用土重度的平均值。\midpar

\ctitle{什么叫做软弱下卧层？}
难道是下层土的地基承载力特征值小于持力层的地基承载力特征值，下层土就可
以叫做软弱下卧层？\midpar

\ctitle{附加压力值}
如下所示。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic/p20.jpg}
\end{center}
上图的一个基础，土和基础的重度分别记做~$\gamma_s,\gamma_c$，土和基础的
体积分别记做~$V_s,V_c$，重量记做~$G_s,G_c$，外荷载是~$F_k$，基础底面面
积为~$A$，下面计算基础底面的附加压力。基础底面的压力是
\[ \frac{F_k + G_s + G_c}{A} \]
它可以表示为
\[ \frac{F_k + G_s + G_c - \gamma_s(V_s + V_c) + \gamma_s(V_s + V_c)}{A} \]
整理一下就是
\[ \frac{(F_k + G_c - \gamma_sV_c) + \gamma_s(V_s + V_c)}{A} \]
附加压力就是前一项
\[ \frac{(F_k + G_c - \gamma_sV_c)}{A} \]
所以附加压力就是外荷载加基础自重，再减去基础同体积的土重，除以基础底面
积。比如有一个基础，外荷载是零，且基础的重度和土的重度相同，那么看上去
就没有什么附加荷载。计算结果也是零。



\section{变形计算}
\subsection{土的加权平均重度}
每个土层的重度和厚度分别是为~$\gamma_i,h_i(i=1,2,\cdots,n)$，取底面积为~$A$~
的土体计算。总重是
\[ G = (\gamma_1h_1 + \cdots + \gamma_nh_n)A \]
体积是
\[ V = (h_1 + \cdots + h_n)A \]
加权平均重度是
\[ \gamma_m = \frac{G}{V} = 
   \frac{\gamma_1h_1 + \cdots + \gamma_nh_n}{h_1 + \cdots + h_n} 
\]


\subsection{基底平均压力}
如果基础的底面积是~$A$，基础自重及其上的土重为~$G$，上部结构传给基础的
力为~$F$，那么基底平均压力为
\[ p = \frac{F + G}{A} \]


\subsection{基底平均附加压力}
如果基础的埋深为~$d$，基础底标高以上原图层的加权平均重度是~$\gamma_m$，
那么基底处土的自重应力为
\[ \sigma_c = \gamma_m d \]
基底平均附加压力~$p_0$~就是比自重应力多出来的部分。所以它如下计算
\[ p_0 = \frac{F+G}{A} - \gamma_m d \]
\midpar

下面是个例子。基础埋深为~$d=1.5m$，基础底面积为~$20m^2$，基础及其上回填
土的总重为~$G=600kN$，上部结构传给基础的力为~$F=1940kN$，原土层的加权平
均重度为~$\gamma_m=18kN/m^3$，那么基底处的土中自重应力为
\[ \sigma_c = \gamma_m d = 18\times 1.5 = 27kPa \]
基底平均压力为
\[ p = \frac{F+G}{A} = \frac{1940 + 600}{20} = 127kPa \]
基底平均附加压力是
\[ p_0 = p - \sigma_c = 127 - 27 = 100kPa \]


\subsection{土的三相比例指标}
\btitle{三相的记号}
土中包括土粒，水和空气三相物质。它们的记号是
\begin{verbatim}
  s -- soil  -- 土壤
  w -- water -- 水
  a -- air   -- 空气
\end{verbatim}
\midpar

\ctitle{土的质量}
土粒质量记做~$m_s$，土中水的质量记做~$m_w$，所以土的总质量为
\[ m = m_s + m_w \]
\midpar

\ctitle{土的体积}
土粒的体积~$V_s$，土中水的体积~$V_w$，土中空气的体积~$V_a$，所以土的总体积为
\[ V = V_s + V_w + V_a \]
\midpar

\ctitle{土粒密度与土粒相对密度}
土粒密度就是土粒单位体积的质量，记做~$\rho_s$，按下式计算
\[ \rho_s = \frac{m_s}{V_s} \]
纯水在4摄氏度时的密度~$\rho_{w1}$.\\
土粒的相对密度为~$d_s$，按下式计算
\[ d_s = \frac{\rho_s}{\rho_{w1}} = \frac{m_s}{V_s\rho_{w1}} \]
\midpar

\ctitle{土的密度}
按下式计算
\[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{m_s + m_w}{V_s + V_w + V_a} \]
\midpar

\ctitle{土的干密度}
按下式计算
\[ \rho_d = \frac{m_s}{V} = \frac{m_s}{V_s + V_w + V_a} \]
\midpar

\ctitle{土的饱和密度}
土空隙中充满水是的单位体积的质量。按下式计算
\[ \rho_{sat} = \frac{m_s + \rho_w(V_w + V_a)}{V_s + V_w + V_a} \]
\midpar

\ctitle{土的浮密度}
按下式计算
\[ \rho' = \frac{m_s - V_s\rho_w}{V_s + V_w + V_a} \]
\midpar

\ctitle{土的含水率}
为土中水的质量与土粒质量之比，按下式计算
\[ w = \frac{m_w}{m_s} \]
\midpar

\ctitle{土的孔隙比}
土中空隙体积与土粒体积之比，按下式计算
\[ e = \frac{V_w + V_a}{V_s} \]
\midpar

\ctitle{土的孔隙率}
按下式计算
\[ n = \frac{V_w + V_a}{V_s + V_w + V_a} \]
\midpar

\ctitle{土的饱和度}
按下式计算
\[ S_r = \frac{V_w}{V_w + V_a} \]
\midpar


\subsection{土的压缩系数}
土的压缩系数按照下式计算
\[ a = -\dft{e}{p} \]
其中孔隙比~$e$~是压力~$p$~的函数。因为孔隙比随土中压力增大而减小，所
以前面使用一个负号。实用上通常采用某一压力段所计算出的压缩性。比如地
基中某深度处土的自重应力为~$p_1$，这是土的原始压力。而~$p_2$~是此点的
实际压力，它是土的自重应力和附加应力之和。而~$e_1,e_2$~对应于~$p_1,p_2$~
作用下压缩稳定后的孔隙比。这是土的压缩系数按照下式计算
\[ a = -\frac{e_2 - e_1}{p_2 - p_1} = \frac{e_1 - e_2}{p_2 - p_1} \]


\subsection{土的压缩模量}
土的压缩模量~$E_s$~定义为土体在侧限条件下的竖向附加应力与竖向应变的比
值。也就是
\[ E_s = \frac{\sigma_z}{\varepsilon} = \frac{p_2 - p_1}{\varepsilon} \]
其中~$\varepsilon$~表示竖向压应变。下面是它的计算。在侧限条件下，底面
积为~$A$，在土自重应力~$p_1$~的作用下高度为~$H_1$~的土体。在应力~$p_2$~
的作用下的高度变为~$H_2$。于是土被压缩了。其压应变表示为
\[ \varepsilon = \frac{|H_2 - H_1|}{H_1} = \frac{H_1 - H_2}{H_1} \]
它还等于
\[ \varepsilon = \frac{A(H_1 - H_2)}{AH_1} = \frac{V_1 - V_2}{V_1} \]
其中
\[ V_1 = V_s + V_{w1} + V_{a1} = V_s + V_{r1} \]
\[ V_2 = V_s + V_{w2} + V_{a2} = V_s + V_{r2} \]
孔隙比表示为
\[ e_1 = \frac{V_{r1}}{V_s},\quad e_2 = \frac{V_{r2}}{V_s} \]
所以压应变为
\[ \varepsilon = \frac{V_1 - V_2}{V_1} 
   = \frac{V_{r1} - V_{r2}}{V_s + V_{r1}} 
\]
把右边的分式上下都除以~$V_s$~得到
\[ \varepsilon = \frac{V_{r1}/V_s - V_{r2}/V_s}{1 + V_{r1}/V_s} 
   = \frac{e_1 - e_2}{1 + e_1}
\]
所以土的压缩模量表示为
\[ E_s = \frac{(p_2 - p_1)(1 + e_1)}{(e_1 - e_2)} = \frac{1 + e_1}{a} \]
它和弹性模量类似。但是因为是在侧限条件下的，所以叫做压缩模量，以区
别于无侧限的弹性模量。


\section{稳定性计算}
\subsection{稳定土坡坡顶上的建筑}
\btitle{基础底面外边缘至坡边的距离}
这个是基础位于土坡坡顶的情形，要求基础底面外边缘距离坡顶有一定的距离。
如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.75\textwidth]{pic/p12.jpg}
\end{center}
对于条形基础，要求满足公式
\[ a \geq 3.5b - d/\tan\beta \]
从数学公式上来说，这个公式是没有什么问题的。但是对于一个实际的土坡，不
一定能够准确的测得它的坡度。也可能它的边坡是一个多角度的坡。那么这个公
式就不好用了。为了增加它的通用性，需要把土坡的角度从公式中去掉。把这个
公式稍加变化得到
\[ a + d/\tan\beta \geq 3.5b \]
又有等式
\[ x = a + d/\tan\beta \]
所以规范上公式的等价的表示方法是
\[ x \geq 3.5b \]
这样公式就跟角度无关了，免去计算正切值的麻烦，虽然计算一个正切值实际上
也并不麻烦。\newpar

另外规范上规定~$a \geq 2.5m$，这个规定是不严谨的，在某种情况下不太适用。
就是当~$\beta$~很小的时候，按这个规定执行是不必要的。这个规定主要是适用
于坡度较大的情形。



\setcounter{chapter}{5}
\newpage
\chapter{山区地基}
\section{土质边坡与重力式挡墙}
待续。


\setcounter{chapter}{6}
\newpage
\chapter{软弱地基}
\section{利用与处理}
待续。
